ストップと目標ではエッジは生まれない：任意停止定理をわかりやすく

著者：Andre

教育目的のみであり、投資助言ではありません。シミュレーションとバックテストはモデルであり、約束ではありません。すべてのルールはご自身のファームで確認してください。

「リワード対リスクを1:3にすれば、勝率は25%で足りる」。その通りですが、まさにそれが問題です。エントリーにエッジがなければ、ストップと目標をどう選んでも、平均結果はコスト控除前でゼロ、控除後はマイナスのままです。その理由を説明します。

コイン投げの市場

価格が等しい確率で1ティックずつ上下に動くと想像してください。買って、10ティック下にストップ、30ティック上に目標を置いて待ちます。目標に到達する頻度はどれくらいでしょうか？

対称ランダムウォークでは、−bより先に+aに到達する確率はb ÷ (a + b)です。したがって次のようになります。

ストップ	目標	勝率	平均結果
10	30	25%	0.25 × 30 − 0.75 × 10 = 0
10	10	50%	0.5 × 10 − 0.5 × 10 = 0
30	10	75%	0.75 × 10 − 0.25 × 30 = 0

勝率は、ペイオフをちょうど打ち消す分だけ変化します。これはこの数値の偶然ではありません。定理です。

任意停止定理

マルチンゲールとは、次の値の期待値が現在の値に等しい過程、つまり公平なゲームのことです。ドゥーブの任意停止定理によれば、未来を見ることができない任意のルール（ストップロス、利益目標、トレーリングストップ、時間による決済、「RSIが70を超えたら決済」など）でマルチンゲールを停止し、そのルールが妥当な形で有界であれば、停止時の期待値は開始時の値に等しくなります。

トレードの言葉で言えば、ドリフトのない価格では、どんな決済ルールも期待値はプラスになりません。決済方法が変えるのは結果の形（勝率、利益と損失の大きさ、歪み、保有期間）であり、平均ではありません。

そこにコストを加える

往復の取引ごとにスプレッド、手数料、スリッページがかかります。価格で表したコストがc、ストップがSなら、1トレードあたりの期待値はRで約−c ÷ Sです。US500で10ポイントのストップに0.5ポイントのスプレッドなら、目標がどこであれ1トレードあたり−0.05Rです。ストップを狭くするとさらに悪化し、5ポイントのストップで同じスプレッドなら−0.10Rになります。

だからこそ、小さなストップのスキャルピング手法はコスト控除前には素晴らしく見えて控除後には出血し、合格確率計算ツールはコストをRで入力するよう求めているのです。

研究が示すこと

Kaminski and Lo (2014)は、ランダムウォークの下ではストップロスのルールが常に期待リターンを下げることを証明しています。ストップが価値を生むのは、モメンタムのようにリターンが予測可能な場合だけです。
Lo and Remorov (2017)はこれを拡張しました。取引コストがあると狭いストップは損をし、効果を得るには強い系列相関が必要です。
Warburton and Zhang (2006)はランダムウォーク上でストップロス、利食い、ブレイクアウトのルールをモデル化しました。期待利益はドリフトで決まり、ドリフトがゼロなら決済方法は勝つ確率と勝ちの大きさを交換するだけです。
Lei and Li (2009)は、ストップロス戦略がバイ・アンド・ホールドと比べて損失を減らしも増やしもしないことを見出しました。価値があるとすればリスクの低減であり、リターンではありません。
Biondo et al. (2013)は、主要指数においてランダムにエントリーする戦略が標準的なテクニカルルールとほぼ同等の成績を、より小さなばらつきで上げたことを見出しました。

ここから言えないこと

決済方法はリスクの面では依然として重要です。ストップは1トレードの損害を抑え、プロップチャレンジではそれが日次制限内にとどまる手段になります。ストップはリスク管理であって、エッジではありません。
エントリーにエッジがあるなら、決済方法はそれを助けることも損なうこともあります。モメンタムなら利益を伸ばすことでドリフトをより多く取れ、平均回帰なら近い目標のほうが合います。しかしエッジはまず、エントリー、市場、あるいは構造的な資金の流れから生まれなければなりません。
市場は完全なランダムウォークではありません。大引けに向けた日中モメンタム（Gao et al. 2018; Baltussen et al. 2021）のように、記録された効果も存在します。ここでの主張はもっと限定的で、決済ルールだけでエッジを作り出すことはできない、ということです。

私たち自身のテストでは

株式とETFで、ドンチャンチャネルによる決済、ATRとシャンデリアのトレーリングストップ、1:1の固定目標、中心線での決済をバックテストしたところ、決済方法の選択によって勝率は大きく変わりましたが、平均結果はほとんど変わりませんでした。コスト控除後は、日中限定のバージョンはすべてマイナスでした。これは定理が予測するとおりです。（テストは私たち独自のもので、査読は受けていません。）

実践的な教訓

ストップはリスク管理のために選び、目標は自分のエッジの現れ方に合わせて選びましょう。エッジを作り出すことを期待して選んではいけません。ある魔法のような目標でしか機能しないバックテストは、カーブフィッティングを疑ってください。そしてチャレンジでは、広いストップと近い目標で得た高い勝率も、期待値は同じであり、負けたときの損失が大きくなるだけだと覚えておいてください。

出典

Williams, D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. [書籍]
Kaminski, K. M. & Lo, A. W. (2014). When do stop-loss rules stop losses? Journal of Financial Markets 18, 234–254. doi:10.1016/j.finmar.2013.07.001 [査読あり]
Lo, A. W. & Remorov, A. (2017). Stop-loss strategies with serial correlation, regime switching, and transaction costs. Journal of Financial Markets 34, 1–15. doi:10.1016/j.finmar.2017.02.003 [査読あり]
Warburton, A. J. & Zhang, Z. G. (2006). A simple computational model for analyzing the properties of stop-loss, take-profit, and price breakout trading strategies. Computers & Operations Research 33(1), 32–42. doi:10.1016/j.cor.2004.06.001 [査読あり]
Lei, A. Y. C. & Li, H. (2009). The value of stop loss strategies. Financial Services Review 18(1), 23–51. doi:10.61190/fsr.v18i1.4933 [査読あり]
Biondo, A. E., Pluchino, A., Rapisarda, A. & Helbing, D. (2013). Are random trading strategies more successful than technical ones? PLoS ONE 8(7), e68344. doi:10.1371/journal.pone.0068344 [査読あり]
Gao, L., Han, Y., Li, S. Z. & Zhou, G. (2018). Market intraday momentum. Journal of Financial Economics 129(2), 394–414. doi:10.1016/j.jfineco.2018.05.009 [査読あり]
Baltussen, G., Da, Z., Lammers, S. & Martens, M. (2021). Hedging demand and market intraday momentum. Journal of Financial Economics 142(1), 377–403. doi:10.1016/j.jfineco.2021.04.029 [査読あり]

「査読あり」とは、査読制の学術誌に掲載されたことを意味します。ワーキングペーパーと書籍は査読を受けていません。「私たち自身のテスト」の数値は私たちのバックテストとシミュレーションであり、査読済みの研究ではありません。