Les stops et objectifs ne créent pas d’avantage : le théorème d’arrêt optionnel expliqué simplement
À but éducatif uniquement, pas un conseil financier. Les simulations et les backtests sont des modèles, pas des promesses. Vérifiez chaque règle auprès de votre propre firme.
« Utilisez un ratio gain:risque de 1:3 et vous n’avez besoin de gagner que 25 % du temps. » C’est vrai, et c’est exactement le problème. Si vos entrées n’ont pas d’avantage, n’importe quel choix de stop et d’objectif laisse votre résultat moyen à zéro avant coûts et en dessous de zéro après. Voici pourquoi.
Un marché à pile ou face
Imaginez un prix qui monte ou descend d’un tick à la fois avec la même probabilité. Vous achetez, placez un stop 10 ticks en dessous et un objectif 30 ticks au-dessus, puis vous attendez. À quelle fréquence atteignez-vous l’objectif ?
Pour une marche aléatoire symétrique, la probabilité d’atteindre +a avant −b est b ÷ (a + b). Donc :
| Stop | Objectif | Taux de réussite | Résultat moyen |
|---|---|---|---|
| 10 | 30 | 25% | 0.25 × 30 − 0.75 × 10 = 0 |
| 10 | 10 | 50% | 0.5 × 10 − 0.5 × 10 = 0 |
| 30 | 10 | 75% | 0.75 × 10 − 0.25 × 30 = 0 |
Le taux de réussite varie exactement assez pour annuler le gain. Ce n’est pas une coïncidence liée à ces chiffres. C’est un théorème.
Le théorème d’arrêt optionnel
Une martingale est un processus dont la valeur suivante espérée est égale à sa valeur actuelle : un jeu équitable. Le théorème d’arrêt optionnel de Doob dit que si vous arrêtez une martingale avec une règle qui ne peut pas voir l’avenir (un stop-loss, un objectif de profit, un stop suiveur, une sortie temporelle, « clôturer si le RSI franchit 70 ») et que cette règle est bornée de façon raisonnable, alors votre valeur espérée à l’arrêt est égale à votre valeur de départ.
En termes de trading : sur un prix sans dérive, aucune règle de sortie n’a d’espérance positive. Les sorties changent la forme de vos résultats (taux de réussite, taille des gains et des pertes, asymétrie, durée des trades), pas la moyenne.
Ajoutez ensuite les coûts
Chaque aller-retour paie un spread, une commission et du slippage. Si votre coût vaut c en prix et votre stop S, votre espérance par trade vaut environ −c ÷ S en R. Un spread de 0,5 point sur un stop de 10 points sur le US500 représente −0,05R par trade, quel que soit l’objectif. Des stops plus serrés aggravent les choses : le même spread sur un stop de 5 points représente −0,10R.
C’est pourquoi les systèmes de scalping à petits stops paraissent excellents avant coûts et saignent après, et pourquoi le calculateur de chances de réussite demande les coûts en R.
Ce que dit la recherche
- Kaminski et Lo (2014) démontrent que, sous une marche aléatoire, une règle de stop-loss réduit toujours le rendement espéré. Les stops ne peuvent apporter de la valeur que lorsque les rendements sont prévisibles, par exemple en présence de momentum.
- Lo et Remorov (2017) prolongent ce résultat : avec des coûts de transaction, les stops serrés perdent, et le bénéfice exige une forte autocorrélation.
- Warburton et Zhang (2006) modélisent des règles de stop-loss, de take-profit et de cassure sur une marche aléatoire : le profit espéré est fixé par la dérive ; sans dérive, les sorties ne font qu’échanger probabilité de gain contre taille du gain.
- Lei et Li (2009) constatent que les stratégies de stop-loss ne réduisent ni n’augmentent les pertes par rapport à l’achat-conservation ; leur seule valeur est la réduction du risque, pas le rendement.
- Biondo et al. (2013) constatent que des stratégies à entrée aléatoire sur les grands indices ont fait à peu près aussi bien que les règles techniques classiques, avec moins de variabilité.
Ce que cela ne dit pas
- Les sorties restent importantes pour le risque. Un stop limite les dégâts d’un trade, et dans un challenge de prop firm, c’est ce qui vous maintient dans la limite journalière. Les stops relèvent de la gestion du risque, pas de l’avantage.
- Si vos entrées ont un avantage, les sorties peuvent l’aider ou lui nuire. Avec du momentum, laisser courir les gains capte davantage de dérive ; avec du retour à la moyenne, un objectif proche convient mieux. Mais l’avantage doit d’abord venir de l’entrée, du marché ou d’un flux structurel.
- Les marchés ne sont pas des marches aléatoires parfaites. Il existe des effets documentés, comme le momentum intraday vers la clôture (Gao et al. 2018 ; Baltussen et al. 2021). Le propos est plus restreint : on ne peut pas fabriquer un avantage à partir des seules règles de sortie.
Dans nos propres tests
Lorsque nous avons backtesté des sorties sur canal de Donchian, des stops suiveurs ATR et chandelier, des objectifs fixes 1:1 et des sorties sur la ligne médiane, sur actions et ETF, le choix de la sortie a beaucoup fait varier les taux de réussite et très peu les résultats moyens. Après coûts, toutes les versions purement intraday étaient négatives. C’est ce que prédit le théorème. (Nos tests sont les nôtres et ne sont pas évalués par les pairs.)
La leçon pratique
Choisissez les stops pour contrôler le risque et les objectifs en fonction de la façon dont votre avantage se manifeste. Ne les choisissez pas dans l’espoir d’en créer un. Si un backtest ne fonctionne qu’avec un objectif magique, soupçonnez un surajustement. Et dans un challenge, souvenez-vous qu’un taux de réussite élevé obtenu grâce à un stop large et un objectif proche reste la même espérance, avec une perte plus lourde quand elle survient.
Sources
- Williams, D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. [Livre]
- Kaminski, K. M. & Lo, A. W. (2014). When do stop-loss rules stop losses? Journal of Financial Markets 18, 234–254. doi:10.1016/j.finmar.2013.07.001 [Évalué par les pairs]
- Lo, A. W. & Remorov, A. (2017). Stop-loss strategies with serial correlation, regime switching, and transaction costs. Journal of Financial Markets 34, 1–15. doi:10.1016/j.finmar.2017.02.003 [Évalué par les pairs]
- Warburton, A. J. & Zhang, Z. G. (2006). A simple computational model for analyzing the properties of stop-loss, take-profit, and price breakout trading strategies. Computers & Operations Research 33(1), 32–42. doi:10.1016/j.cor.2004.06.001 [Évalué par les pairs]
- Lei, A. Y. C. & Li, H. (2009). The value of stop loss strategies. Financial Services Review 18(1), 23–51. doi:10.61190/fsr.v18i1.4933 [Évalué par les pairs]
- Biondo, A. E., Pluchino, A., Rapisarda, A. & Helbing, D. (2013). Are random trading strategies more successful than technical ones? PLoS ONE 8(7), e68344. doi:10.1371/journal.pone.0068344 [Évalué par les pairs]
- Gao, L., Han, Y., Li, S. Z. & Zhou, G. (2018). Market intraday momentum. Journal of Financial Economics 129(2), 394–414. doi:10.1016/j.jfineco.2018.05.009 [Évalué par les pairs]
- Baltussen, G., Da, Z., Lammers, S. & Martens, M. (2021). Hedging demand and market intraday momentum. Journal of Financial Economics 142(1), 377–403. doi:10.1016/j.jfineco.2021.04.029 [Évalué par les pairs]
« Évalué par les pairs » signifie publié dans une revue à comité de lecture. Les documents de travail et les livres ne sont pas évalués par les pairs. Les chiffres issus de « nos propres tests » sont nos backtests et simulations, pas de la recherche évaluée par les pairs.